3.317 \(\int (c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=486 \[ \frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b} \]

[Out]

((-6*I)*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b - (6*d*(c +
d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*(c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/(2*b) + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -
E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((3*I)*d^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (((9*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2,
(-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((3*I)*d^3*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (((9*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog
[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*
(a + b*x))])/b^4 - (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I
*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - ((9*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4
+ ((9*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Csc[a
+ b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(2*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.20635, antiderivative size = 486, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 44, number of rules used = 19, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.792, Rules used = {2621, 288, 321, 207, 4420, 6688, 12, 6742, 6273, 4181, 2531, 6609, 2282, 6589, 4183, 2622, 6741, 2279, 2391} \[ \frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}+\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 i d^3 \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3,x]

[Out]

((-6*I)*d^2*(c + d*x)*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*(c + d*x)^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b - (6*d*(c +
d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (3*(c + d*x)^3*Csc[a + b*x])/(2*b) + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, -
E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((3*I)*d^3*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (((9*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2,
(-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((3*I)*d^3*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (((9*I)/2)*d*(c + d*x)^2*PolyLog
[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, -E^(I*
(a + b*x))])/b^4 - (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (9*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, I*E^(I
*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - ((9*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4
+ ((9*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (3*d*(c + d*x)^2*Sec[a + b*x])/(2*b^2) + ((c + d*x)^3*Csc[a
+ b*x]*Sec[a + b*x]^2)/(2*b)

Rule 2621

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> -Dist[(f*a^n)^(-1), Subst
[Int[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && Integer
Q[(n + 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 288

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^
n)^(p + 1))/(b*n*(p + 1)), x] - Dist[(c^n*(m - n + 1))/(b*n*(p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^(p + 1), x
], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IGtQ[n, 0] && LtQ[p, -1] && GtQ[m + 1, n] &&  !ILtQ[(m + n*(p + 1) + 1)/n, 0]
&& IntBinomialQ[a, b, c, n, m, p, x]

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 4420

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6688

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = SimplifyIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SimplerIntegrandQ[v, u, x]]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 6741

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = NormalizeIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; v =!= u]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec ^3(a+b x) \, dx &=\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-(3 d) \int (c+d x)^2 \left (\frac{3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b}-\frac{3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{\csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}\right ) \, dx\\ &=\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-(3 d) \int \frac{(c+d x)^2 \left (3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))+\csc (a+b x) \left (-3+\sec ^2(a+b x)\right )\right )}{2 b} \, dx\\ &=\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \left (3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))+\csc (a+b x) \left (-3+\sec ^2(a+b x)\right )\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int \left (3 (c+d x)^2 \left (\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-\csc (a+b x)\right )+(c+d x)^2 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx}{2 b}-\frac{(9 d) \int (c+d x)^2 \left (\tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-\csc (a+b x)\right ) \, dx}{2 b}\\ &=\frac{3 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b^2}+\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(9 d) \int \left ((c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))-(c+d x)^2 \csc (a+b x)\right ) \, dx}{2 b}+\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \left (-\frac{\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{\sec (a+b x)}{b}\right ) \, dx}{b}\\ &=\frac{3 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b^2}+\frac{3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x))}{2 b}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(9 d) \int (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\sin (a+b x)) \, dx}{2 b}+\frac{(9 d) \int (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{\left (3 d^2\right ) \int \frac{(c+d x) \left (-\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+\sec (a+b x)\right )}{b} \, dx}{b}\\ &=-\frac{9 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{3 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3 \int b (c+d x)^3 \sec (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \left (-\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+\sec (a+b x)\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (9 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (9 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{9 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{3 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{3}{2} \int (c+d x)^3 \sec (a+b x) \, dx+\frac{\left (3 d^2\right ) \int \left (-(c+d x) \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+(c+d x) \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (9 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (9 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{9 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{3 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{2 b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(9 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b}+\frac{(9 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b}-\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \tanh ^{-1}(\cos (a+b x)) \, dx}{b^2}+\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \sec (a+b x) \, dx}{b^2}-\frac{\left (9 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (9 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{9 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int b (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx}{2 b^2}-\frac{\left (9 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (9 i d^2\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{9 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx}{2 b}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1+i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (9 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (9 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{9 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (9 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (9 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}+\frac{\left (3 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (3 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=-\frac{6 i d^2 (c+d x) \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i (c+d x)^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 d (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{3 i d^3 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{9 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{9 i d^3 \text{Li}_4\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{3 d (c+d x)^2 \sec (a+b x)}{2 b^2}+\frac{(c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x)}{2 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 7.9131, size = 819, normalized size = 1.69 \[ -\frac{\csc (a+b x) \left (b c^3+3 b \cos (2 a+2 b x) c^3+3 b d x c^2+9 b d x \cos (2 a+2 b x) c^2+3 d \sin (2 a+2 b x) c^2+3 b d^2 x^2 c+9 b d^2 x^2 \cos (2 a+2 b x) c+6 d^2 x \sin (2 a+2 b x) c+b d^3 x^3+3 b d^3 x^3 \cos (2 a+2 b x)+3 d^3 x^2 \sin (2 a+2 b x)\right ) \sec ^2(a+b x)}{4 b^2}+\frac{3 d \left (\log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) (c+d x)^2-\log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) (c+d x)^2+\frac{2 i d \left (b (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )+i d \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )\right )}{b^2}+\frac{2 d \left (d \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )-i b (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )\right )}{b^2}\right )}{b^2}-\frac{3 \left (2 i c^3 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right ) b^3-d^3 x^3 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) b^3-3 c d^2 x^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) b^3-3 c^2 d x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) b^3+d^3 x^3 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) b^3+3 c d^2 x^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) b^3+3 c^2 d x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) b^3+4 i c d^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right ) b-2 d^3 x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) b+2 d^3 x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) b+6 c d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right ) b+6 d^3 x \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right ) b-6 c d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right ) b-6 d^3 x \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right ) b-i d \left (2 d^2+3 b^2 (c+d x)^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )+i d \left (2 d^2+3 b^2 (c+d x)^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )+6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-i e^{i (a+b x)}\right )-6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,i e^{i (a+b x)}\right )\right )}{2 b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^3,x]

[Out]

(3*d*((c + d*x)^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - (c + d*x)^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + ((2*I)*d*(b*(c + d*x)*Poly
Log[2, -E^(I*(a + b*x))] + I*d*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))]))/b^2 + (2*d*((-I)*b*(c + d*x)*PolyLog[2, E^(I*(a
+ b*x))] + d*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))]))/b^2))/b^2 - (3*((2*I)*b^3*c^3*ArcTan[E^(I*(a + b*x))] + (4*I)*b*c*d
^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))] - 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - 2*b*d^3*x*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] -
3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - b^3*d^3*x^3*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] + 3*b^3*c^2*d*x*Log[1 + I
*E^(I*(a + b*x))] + 2*b*d^3*x*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + 3*b^3*c*d^2*x^2*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + b^3*d^
3*x^3*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] - I*d*(2*d^2 + 3*b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + I*d*(2*d
^2 + 3*b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] + 6*b*c*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + 6*b*d^3*x
*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - 6*b*c*d^2*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))] - 6*b*d^3*x*PolyLog[3, I*E^(I*(a +
b*x))] + (6*I)*d^3*PolyLog[4, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - (6*I)*d^3*PolyLog[4, I*E^(I*(a + b*x))]))/(2*b^4) - (Cs
c[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2*(b*c^3 + 3*b*c^2*d*x + 3*b*c*d^2*x^2 + b*d^3*x^3 + 3*b*c^3*Cos[2*a + 2*b*x] + 9*b*c^
2*d*x*Cos[2*a + 2*b*x] + 9*b*c*d^2*x^2*Cos[2*a + 2*b*x] + 3*b*d^3*x^3*Cos[2*a + 2*b*x] + 3*c^2*d*Sin[2*a + 2*b
*x] + 6*c*d^2*x*Sin[2*a + 2*b*x] + 3*d^3*x^2*Sin[2*a + 2*b*x]))/(4*b^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.738, size = 1629, normalized size = 3.4 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^3,x)

[Out]

-6*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^4+3*d^3/b^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2-3
*d^3/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+3*d^3/b^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2+3/b^4*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a-9/b^3*
d^3*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))*x-3/b^3*d^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x-3/b^4*d^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a-3/2/b
^4*d^3*a^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))+9/b^3*d^3*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))*x-3/2/b*d^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^3
+3/2/b*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^3+3/b^2*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/b^2*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+3/b^4*
d^3*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3*I/b*c^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^3*d^2*c*arctan(exp(I*(b*x+a)))-9*I*d^3*pol
ylog(4,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^4+6/b^3*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a*x-6/b^3*d^2*c*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-6*d^2/b^2*
c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-6*I*d^3/b^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-3*I*d^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))/b^4-I/b^2
/(exp(2*I*(b*x+a))+1)^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)*(3*d^3*x^3*b*exp(5*I*(b*x+a))+9*c*d^2*x^2*b*exp(5*I*(b*x+a))+9*c^
2*d*x*b*exp(5*I*(b*x+a))+2*d^3*x^3*b*exp(3*I*(b*x+a))+3*c^3*b*exp(5*I*(b*x+a))+6*c*d^2*x^2*b*exp(3*I*(b*x+a))+
3*I*d^3*x^2*exp(I*(b*x+a))+6*c^2*d*x*b*exp(3*I*(b*x+a))+3*d^3*x^3*b*exp(I*(b*x+a))+6*I*c*d^2*x*exp(I*(b*x+a))+
2*c^3*b*exp(3*I*(b*x+a))+9*c*d^2*x^2*b*exp(I*(b*x+a))-3*I*c^2*d*exp(5*I*(b*x+a))+9*c^2*d*x*b*exp(I*(b*x+a))+3*
c^3*b*exp(I*(b*x+a))-6*I*c*d^2*x*exp(5*I*(b*x+a))-3*I*d^3*x^2*exp(5*I*(b*x+a))+3*I*c^2*d*exp(I*(b*x+a)))-9/b^3
*d^2*c*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))+9/b^3*d^2*c*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))+3/2/b^4*d^3*a^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+
a)))+3/b^3*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x-9*I/b^2*c*d^2*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x+9*I/b^2*c*d^2*polylog(2,-I
*exp(I*(b*x+a)))*x-9*I/b^3*d^2*c*a^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))+9*I/b^2*c^2*d*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))+6*I*d^3/b^3
*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+3*I*d^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^4+9/2/b*d^2*c*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-
9/2/b*d^2*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-9/2/b*c^2*d*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x-9/2/b^2*c^2*d*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)
))*a+9/2/b*c^2*d*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x+9/2/b^2*c^2*d*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a+9/2/b^3*d^2*c*a^2*ln(1+I*exp(
I*(b*x+a)))-9/2/b^3*d^2*c*a^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^4*d^3*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))+9*I*d^3*polylog(4,I*
exp(I*(b*x+a)))/b^4-6*I/b^4*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*a-9/2*I/b^2*d^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+9/2*
I/b^2*d^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*I/b^4*d^3*a*dilog(exp(I*(b*x+a)))+9/2*I/b^2*c^2*d*polylog(2,-I*ex
p(I*(b*x+a)))-9/2*I/b^2*c^2*d*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^3*dilog(exp(I*(b*x+a))+1)*c*d^2-6*I/b^4*d^3*a*
dilog(exp(I*(b*x+a))+1)+6*I/b^3*d^2*c*dilog(exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^4*d^3*a^3*arctan(exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^4*d^3
*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*a

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 20.6871, size = 10843, normalized size = 22.31 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/4*(c^3*(2*(3*sin(b*x + a)^2 - 2)/(sin(b*x + a)^3 - sin(b*x + a)) - 3*log(sin(b*x + a) + 1) + 3*log(sin(b*x
+ a) - 1)) - 3*a*c^2*d*(2*(3*sin(b*x + a)^2 - 2)/(sin(b*x + a)^3 - sin(b*x + a)) - 3*log(sin(b*x + a) + 1) + 3
*log(sin(b*x + a) - 1))/b + 3*a^2*c*d^2*(2*(3*sin(b*x + a)^2 - 2)/(sin(b*x + a)^3 - sin(b*x + a)) - 3*log(sin(
b*x + a) + 1) + 3*log(sin(b*x + a) - 1))/b^2 - a^3*d^3*(2*(3*sin(b*x + a)^2 - 2)/(sin(b*x + a)^3 - sin(b*x + a
)) - 3*log(sin(b*x + a) + 1) + 3*log(sin(b*x + a) - 1))/b^3 - 4*((6*(b*x + a)^3*d^3 + 12*b*c*d^2 - 12*a*d^3 +
18*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a) - 6*((b*x + a)^3*
d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b
*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 6*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^
2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 6*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^
3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a
) + (-6*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-18*I*b^2*
c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + (-6*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*
c*d^2 + 12*I*a*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 + (-18*I*a^2
- 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (6*I*(b*x + a)^3*d^3 + 12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3 + (18*I*b*c*d^2 -
18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*
a))*arctan2(cos(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + (6*(b*x + a)^3*d^3 + 12*b*c*d^2 - 12*a*d^3 + 18*(b*c*d^2 - a*d^3
)*(b*x + a)^2 + 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a) - 6*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2
*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x
+ 6*a) - 6*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d
^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 6*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*
d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-6*I*(b*x + a)
^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3 + (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*
d^2 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + (-6*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3
+ (-18*I*b*c*d^2 + 18*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3)*(b*x
+ a))*sin(4*b*x + 4*a) + (6*I*(b*x + a)^3*d^3 + 12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3 + (18*I*b*c*d^2 - 18*I*a*d^3)*(b*x +
a)^2 + (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x
+ a), -sin(b*x + a) + 1) + (12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)^2*d^3 + 12*a^2*d^3 + 24*(b*c*d^2 - a*d
^3)*(b*x + a) - 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(6
*b*x + 6*a) - 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b
*x + 4*a) + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x
+ 2*a) + (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)^2*d^3 - 12*I*a^2*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^
3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)^2*d^3 - 12*I*a^2*d^3 + (-2
4*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)^2*d^
3 + 12*I*a^2*d^3 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a)
+ 1) - (12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*a^2*d^3 - 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) -
12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(2*b*x + 2
*a) - (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 12*I*a^2*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) - (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 1
2*I*a^2*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - (-12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*a^2*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(si
n(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) + (12*(b*x + a)^2*d^3 + 24*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - 12*((b*x + a)^2*d^3 + 2
*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 12*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*
x + 4*a) + 12*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-12*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-
24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + (-12*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)
*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (12*I*(b*x + a)^2*d^3 + (24*I*b*c*d^2 - 24*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a)
)*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) - (12*(b*x + a)^3*d^3 - 12*I*b^2*c^2*d + 24*I*a*b*c*d^2 - 12*I*a^2*
d^3 + (36*b*c*d^2 - (36*a + 12*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*b^2*c^2*d - (72*a + 24*I)*b*c*d^2 + 12*(3*a^2 + 2*I*a
)*d^3)*(b*x + a))*cos(5*b*x + 5*a) - 8*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a
*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - (12*(b*x + a)^3*d^3 + 12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*d^2 + 12*I
*a^2*d^3 + (36*b*c*d^2 - (36*a - 12*I)*d^3)*(b*x + a)^2 + (36*b^2*c^2*d - (72*a - 24*I)*b*c*d^2 + 12*(3*a^2 -
2*I*a)*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (18*b^2*c^2*d - 36*a*b*c*d^2 + 18*(b*x + a)^2*d^3 + 6*(3*a^2 + 2)*d^3 +
36*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d
^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 +
6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 +
2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 - 18*I*(b*x + a)
^2*d^3 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + (-18*I*b^2*c^2*d
+ 36*I*a*b*c*d^2 - 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-18*I*a^2 - 12*I)*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin
(4*b*x + 4*a) + (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3 + (36*I*b*c*d^
2 - 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(I*e^(I*b*x + I*a)) - (18*b^2*c^2*d - 36*a*b*c*d^2 + 18*(b*x
+ a)^2*d^3 + 6*(3*a^2 + 2)*d^3 + 36*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(b*x + a)^
2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) - 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + 3*(
b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 6*(3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*
d^2 + 3*(b*x + a)^2*d^3 + (3*a^2 + 2)*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (18*I*b^2*c^2*d
- 36*I*a*b*c*d^2 + 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3 + (36*I*b*c*d^2 - 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(6
*b*x + 6*a) - (18*I*b^2*c^2*d - 36*I*a*b*c*d^2 + 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (18*I*a^2 + 12*I)*d^3 + (36*I*b*c*d^2
- 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (-18*I*b^2*c^2*d + 36*I*a*b*c*d^2 - 18*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-18*I*
a^2 - 12*I)*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 + 36*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) - (24*b*
c*d^2 + 24*(b*x + a)*d^3 - 24*a*d^3 - 24*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) - 24*(b*c*d^2 + (b
*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 24*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (24*I*b*c*d^2
+ 24*I*(b*x + a)*d^3 - 24*I*a*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) - (24*I*b*c*d^2 + 24*I*(b*x + a)*d^3 - 24*I*a*d^3)*sin(4*b
*x + 4*a) - (-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (24*
b*c*d^2 + 24*(b*x + a)*d^3 - 24*a*d^3 - 24*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) - 24*(b*c*d^2 +
(b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 24*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + (-24*I*b*c*d
^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*I*a*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) + (-24*I*b*c*d^2 - 24*I*(b*x + a)*d^3 + 24*I*a*d^3)*sin
(4*b*x + 4*a) + (24*I*b*c*d^2 + 24*I*(b*x + a)*d^3 - 24*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) + (-
6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a) +
(6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*c
os(6*b*x + 6*a) + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a
*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-1
2*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3
+ 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 +
2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(
b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (6*I
*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-6*
I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos
(6*b*x + 6*a) + (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a
*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*
I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 +
2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*
(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*
c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + (3*I*(
b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (9*I*b^2*c^2*d - 18*I*a*b*c
*d^2 + (9*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a) + (-3*I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-9*I*b*c*d^2 + 9*I*
a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-9*I*b^2*c^2*d + 18*I*a*b*c*d^2 + (-9*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) + (-
3*I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-9*I*b*c*d^2 + 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-9*I*b^2*c^2*d + 18*
I*a*b*c*d^2 + (-9*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (3*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d
^3 + (9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (9*I*b^2*c^2*d - 18*I*a*b*c*d^2 + (9*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a))
*cos(2*b*x + 2*a) + 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d
- 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) + 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b
*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 3*((
b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 +
2)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + (-3*I*(b*x +
a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-9*I*b*c*d^2 + 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-9*I*b^2*c^2*d + 18*I*a*b*c*d^
2 + (-9*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*x + a) + (3*I*(b*x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^
3)*(b*x + a)^2 + (9*I*b^2*c^2*d - 18*I*a*b*c*d^2 + (9*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(6*b*x + 6*a) + (3*I*(b*
x + a)^3*d^3 + 6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3 + (9*I*b*c*d^2 - 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (9*I*b^2*c^2*d - 18*I*a*b*c*d
^2 + (9*I*a^2 + 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (-3*I*(b*x + a)^3*d^3 - 6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3 + (-9*
I*b*c*d^2 + 9*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (-9*I*b^2*c^2*d + 18*I*a*b*c*d^2 + (-9*I*a^2 - 6*I)*d^3)*(b*x + a))*cos(2
*b*x + 2*a) - 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*
b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(6*b*x + 6*a) - 3*((b*x + a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2
- a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 3*((b*x +
a)^3*d^3 + 2*b*c*d^2 - 2*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + (3*b^2*c^2*d - 6*a*b*c*d^2 + (3*a^2 + 2)*d^
3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + (36*d^3*cos(6*b*x
+ 6*a) + 36*d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 36*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 36*I*d^3*sin(6*b*x + 6*a) + 36*I*d^3*sin(4*b*x +
4*a) - 36*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - 36*d^3)*polylog(4, I*e^(I*b*x + I*a)) - (36*d^3*cos(6*b*x + 6*a) + 36*d^3*c
os(4*b*x + 4*a) - 36*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 36*I*d^3*sin(6*b*x + 6*a) + 36*I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 36*I*d^3*s
in(2*b*x + 2*a) - 36*d^3)*polylog(4, -I*e^(I*b*x + I*a)) + (36*I*b*c*d^2 + 36*I*(b*x + a)*d^3 - 36*I*a*d^3 + (
-36*I*b*c*d^2 - 36*I*(b*x + a)*d^3 + 36*I*a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) + (-36*I*b*c*d^2 - 36*I*(b*x + a)*d^3 + 36*I
*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (36*I*b*c*d^2 + 36*I*(b*x + a)*d^3 - 36*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + 36*(b*c*d^2 + (
b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) + 36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) - 36*(b*c*d^2 +
(b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, I*e^(I*b*x + I*a)) + (-36*I*b*c*d^2 - 36*I*(b*x + a)*d^3
+ 36*I*a*d^3 + (36*I*b*c*d^2 + 36*I*(b*x + a)*d^3 - 36*I*a*d^3)*cos(6*b*x + 6*a) + (36*I*b*c*d^2 + 36*I*(b*x +
a)*d^3 - 36*I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (-36*I*b*c*d^2 - 36*I*(b*x + a)*d^3 + 36*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) -
36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(6*b*x + 6*a) - 36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a)
+ 36*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*a)) + (24*I*d^3*cos(6*b*x
+ 6*a) + 24*I*d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 24*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) - 24*d^3*sin(6*b*x + 6*a) - 24*d^3*sin(4*b*x +
4*a) + 24*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - 24*I*d^3)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + (-24*I*d^3*cos(6*b*x + 6*a) - 24*I*d
^3*cos(4*b*x + 4*a) + 24*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 24*d^3*sin(6*b*x + 6*a) + 24*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 24*d^3*s
in(2*b*x + 2*a) + 24*I*d^3)*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + (-12*I*(b*x + a)^3*d^3 - 12*b^2*c^2*d + 24*a*b*c*d^2
- 12*a^2*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 - 12*(-3*I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (-36*I*b^2*c^2*d - 24*(-3*I*a + 1)*b*c*d^2
+ (-36*I*a^2 + 24*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(5*b*x + 5*a) + (-8*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)*
(b*x + a)^2 + (-24*I*b^2*c^2*d + 48*I*a*b*c*d^2 - 24*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (-12*I*(b*x + a)
^3*d^3 + 12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*a^2*d^3 + (-36*I*b*c*d^2 - 12*(-3*I*a - 1)*d^3)*(b*x + a)^2 + (-36*I
*b^2*c^2*d - 24*(-3*I*a - 1)*b*c*d^2 + (-36*I*a^2 - 24*a)*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))/(-4*I*b^3*cos(6*b*x +
6*a) - 4*I*b^3*cos(4*b*x + 4*a) + 4*I*b^3*cos(2*b*x + 2*a) + 4*b^3*sin(6*b*x + 6*a) + 4*b^3*sin(4*b*x + 4*a) -
4*b^3*sin(2*b*x + 2*a) + 4*I*b^3))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 1.45295, size = 5646, normalized size = 11.62 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*b^3*c^2*d*x + 18*I*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(4, I*cos(b*x + a) + sin
(b*x + a))*sin(b*x + a) + 18*I*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(4, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 18*
I*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(4, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 18*I*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog
(4, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 12*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x +
a))*sin(b*x + a) + 12*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 12*d^3*cos(
b*x + a)^2*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 12*d^3*cos(b*x + a)^2*polylog(3, -cos(b*x
+ a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 2*b^3*c^3 + (-12*I*b*d^3*x - 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*dilog(cos(b*x
+ a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (12*I*b*d^3*x + 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*dilog(cos(b*x + a) - I*sin
(b*x + a))*sin(b*x + a) + (-9*I*b^2*d^3*x^2 - 18*I*b^2*c*d^2*x - 9*I*b^2*c^2*d - 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^2*dilog
(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (-9*I*b^2*d^3*x^2 - 18*I*b^2*c*d^2*x - 9*I*b^2*c^2*d - 6*I*d^3)
*cos(b*x + a)^2*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (9*I*b^2*d^3*x^2 + 18*I*b^2*c*d^2*x + 9*I*
b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^2*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (9*I*b^2*d^3*x^2 + 18
*I*b^2*c*d^2*x + 9*I*b^2*c^2*d + 6*I*d^3)*cos(b*x + a)^2*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) +
(-12*I*b*d^3*x - 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (12*I*b*d^3
*x + 12*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*
c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)^2*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^3*c^3 - 3*a*b^2
*c^2*d + (3*a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 2*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x
+ a) - 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)^2*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b
*x + a) - 3*(b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + (3*a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 2*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(cos(b*x + a)
- I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) + 3*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 +
2*a)*d^3 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - 3*
(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 2*a)*d^3 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*
cos(b*x + a)^2*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^
2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 2*a)*d^3 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2*log(-I*cos(b*x + a) + si
n(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - 3*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 + 2*a)*
d^3 + (3*b^3*c^2*d + 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 6*(b^2*
c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) +
6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*
x + a) + 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x
+ a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + (3*a^2 + 2)*b*c*d^2 - (a^3 + 2*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2*lo
g(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) + 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*c
os(b*x + a)^2*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) - 3*(b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + (3*a^2 + 2)*
b*c*d^2 - (a^3 + 2*a)*d^3)*cos(b*x + a)^2*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) - 18*(b*d^3*x +
b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 18*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b
*x + a)^2*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 18*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*polyl
og(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 18*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2*polylog(3, -I*cos(b
*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) - 6*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + b^3*c^3)*cos(b*x + a
)^2 - 6*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a))/(b^4*cos(b*x + a)^2*sin(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*csc(b*x+a)**2*sec(b*x+a)**3,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out